针对您提出的如何证明已尽到安全提醒义务的问题，根据解答内容，若您能提供如楼梯处设有明显的警示标志、照明充足、楼梯扶手稳固等安全防范措施的证据，以及定期安全检查的记录等，这些都可以作为您已尽到安全提醒义务的佐证。法律依据为《民法典》中关于安全保障义务的规定，即第一千一百九十八条，经营者应确保经营场所内的相关设施符合安全保障要求，以防范潜在风险。
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为规避此类事件，您应：1.加强餐厅安全管理，定期检查并维护楼梯等设施；2.在楼梯等易发生事故区域设置明显警示标志；3.对员工进行安全培训，确保他们了解并能执行安全规范；4.购买公众责任险，以减轻潜在的经济负担。这些措施有助于降低客人受伤的风险，保障餐厅运营安全。
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针对客人摔伤后的应对，若确因您餐厅安全设施不足或未提醒导致，应立即救助并协商赔偿。若客人自身疏忽，应耐心解释并提供安全证据，建议其自行承担。若涉及第三方，应协助客人追责，并视情况承担补充责任。具体操作需依据实际情况灵活处理。