乡镇卫生院不可以将科室外包给第三方。根据《医疗机构管理条例》等相关规定，医疗机构的科室不得随意外包，此举可能涉及违法。若违法外包，将面临法律制裁，且可能影响患者就医安全。
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不可外包。具体操作：应立即停止外包，整改至合规，否则将面临处罚及严重的法律后果。
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针对乡镇卫生院科室外包的问题，常见的处理方式包括：立即停止外包行为、整改并符合规定、以及可能面临的法律责任承担。首先，应立即停止任何形式的外包活动；其次，对已外包的科室进行整改，确保所有医疗服务均符合医疗卫生法规；最后，如已违法，需承担相应法律责任，并采取措施纠正。